同値関係について説明します。
同値関係は”=”の概念を拡張したものとして捉えることができます。
例えば、偶数・奇数で整数を分けたりしますが、偶数同士、奇数同士は同値関係とみなすことができます。
定義(二項関係)
同値関係の定義をするためにまず2項関係の定義からします。
\(A\)≠\(\varnothing\)を集合とする。このとき、\(A\)上の二項関係\(R\)とは、\(R\subset A^2\)を満たすものをいう。 特に\((x,y)\in R\)のとき、\(xRy\)等と書く。
\(xRy\)は\(x\overset{R}{\sim} y\)とも書きます。
\(A^2\)は直積\(A\times A\)のことです。
例えば、\(R\)={\((x,y)\in \)R\(^2:y=x\)}は二項関係となります。
この例だと、\(x=y\)の時、\(xRy\)であることが分かります。
じつは\(R=\varnothing \)も\(R\subset A^2\)であるので二項関係になります。この場合、\(R\)の意味では\(A\)の元は全て(自分自身とも)無関係と捉えます。
定義(同値関係)
ではいよいよ同値関係の定義をしていきます。
\(A^2上の二項関係E\subset A^2がA上の同値関係であるとは, \\次の3つが満たされることである。\\・反射性：xEx \\・対称性：xE y\Rightarrow yEx \\・推移性：[xEy]\land [yEz]\Rightarrow xEz\)
例
では、最初に書いた偶数、奇数の同値関係を書いていきます。
\(E:=\){\((n,m)\in \)N\(^2:\exists l\in \)Z\((n-m=2l)\)}
この二項関係\(E\)が偶数同士、奇数同士で同値関係となることを確認していきます。
同値関係であること
まずはこの二項関係\(E\)が同値関係であることを示します。
2Z:={\(z\in\)Z:\(\frac{z}{2}\in\)Z}・・・(整数の)偶数全体として定義
- 反射性
\(^{\forall} x\in\)Nに対して、\(x-x=0\)より\(l=0\in\)2Zとなるので\(xEx\) - 対称性
\(xEy\)とする。このとき、\(x-y=l\in\)2Zであるので\(y-x=-\in\)2Zとなるので\(yEx\) - 推移性
\(xEy,yEz\)とする。このとき、\(x-y\in \)2Zかつ\(y-z\in \)2Zとなり、\(x-z=(x-y)+(y-z)\in\)2Zとなるので\(xEz\)
偶数同士
\(a,b\)をそれぞれ自然数として\((2a)E(2b)\)(つまり偶数同士が同値関係)となることは\(2a-2b\in\)2Zよりわかります。
奇数同士
今度は\((2a+1)E(2b+1)\)(つまり奇数同士が同値関係)となることは\((2a+1)-(2b+1)\in\)2Zよりわかります。
偶数と奇数のとき
奇数\(2a+1\)と偶数\(2b\)に関しては、\((2a+1)-(2b)\notin \)2Zより同値関係にならないことが分かります。
まとめ
今回は同値関係について定義と例を紹介しました。
偶数同士、奇数同士は(上の例では)同値関係となることが分かりました。例えば2と4を例にとると2≠4ですが、同じ偶数として扱うことができます。
このように同値関係は”=”の拡張として考えると便利です。
二項関係については直積の部分集合でしかないような定義でしたが、その定義をもとに考えを深めると偶数・奇数の区別等、”=”の拡張までいたることができるのはなんとも言えない集合論の魅力がありますね。
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