こんにちは！マシューの数理理論部屋です。
今回は前回の予告通り、論理学についての説明に入りたいと思います。論理学は突き詰めるとものすごく難しいですが、基本的に躓く点は難しいからではありません。記号を含めた数学の言語の習得ができてないこと、もしくは説明する側の説明不足あるいは証明した定理を忘れてしまうこと等が挙げられます。集合論に限らず数学は既知の定理を使って新しい定理の証明を行います。ここで使う定理を覚えてないとわからない、という現象が起こる訳です。
\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\)
ではさっそく本題の方に入っていきたいと思います。
意味
\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\) の意味は把握できるでしょうか？
これはまず大きな目線で見て、2個目の(\Rightarrow\)に注目します。すると1つ目の括弧が仮定で、2つ目の括弧が結論であることが分かります。
つまり、\(A\Rightarrow B\)という命題をE、\(C\Rightarrow D\)をFとして考えます。論理記号では以下のようになります。
\([(E\overset{def}{\Leftrightarrow} (A\Rightarrow B)) \land (F\overset{def}{\Leftrightarrow} (C\Rightarrow D))] \\ \Rightarrow [((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D))\Rightarrow (E\Rightarrow F)] ・・・(1)\)
これだとさっきよりも複雑に見えますが、結局ここで説明したいのは
\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\)は \(E\Rightarrow F\)と同じと考えられるということです。
Eが仮定なので\(A\Rightarrow B\)が仮定、Fが結論なので\(C\Rightarrow D\)が結論という文の構成になります。
証明方法
\(E\Rightarrow F\)はEを仮定してFを示せば証明となるのですが、\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\)に関しては何を仮定して何を示せばよいでしょうか？
実は、\(C\)を仮定して\(D\)を(\(A\Rightarrow B\)を使って)示すことで証明となります。
\(C\Rightarrow D\)を示すということは、「\(C\)を仮定したときに\(D\)が真となることを示す」ということなので、\(C\)を仮定する必要があります。
ここで\(A\Rightarrow B\)は仮定ですが、前提条件のようなものとして考えます。
まとめると、\(A\Rightarrow B\)と\(C\)を仮定して\(D\)を示せば証明となります。
例
このような文の例は3段論法があります。
- 全ての人間はいつか死ぬ
- ソクラテスは人間である
- 故にソクラテスはいつか死ぬ
この論理の例は聞いたことがある人が多いのではないでしょうか。この例では\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\)のA～Dがどこに位置するかわかるでしょうか？
集合論的に言えば次のようになります。
\(X\colon=\){a:aは人間}とする。
\([(\forall x \in X) \Rightarrow (xはいつか死ぬ)] \\ \Rightarrow [(ソクラテス \in
X) \Rightarrow (ソクラテスはいつか死ぬ)] ・・・(2)\)
つまり、”全ての人間”がA、”いつか死ぬ”がB、”ソクラテスは人間”がC、”ソクラテスはいつか死ぬ”がDとなります。(2)では人間全体の集合をXとして定義して、Xの要素であることが人間であることとして論理を展開しています。
じっと見つめてみると、”xが人間なら死ぬ”と”ソクラテスが人間”の２つを仮定していることが分かり、論理の構成が分かってくるのではないかと思います。
まとめ
今回は論理学での例として\((A\Rightarrow B)\Rightarrow(C\Rightarrow D)\)について取り上げました。論理学はあと2～３回程度書こうと思っています。よろしくお願いします。
最後までお付き合いして頂きありがとうございました！挙げてほしいトピックや質問等ありましたら大歓迎です。コメント欄で書いていただけたら嬉しいです。これからもマシューのD&D部屋をよろしくお願いします。
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