集合論 集合論(21) 選択公理とは
今回からは集合論の神髄に迫ります!これからの目標は、当分選択公理の理解とします。今回は選択公理の紹介として、この公理がどう見れらているか、どんな性質を持っているかを簡単に紹介します。
選択公理
ではとりあえず選択公理についてま...
集合論
集合論 集合論 集合論(20)数の構成⑤(実数)
実数の構成
集合論 集合論(19) 数の構成④(コーシー列)
前回までで有理数\(\mathbb{Q}\)の構成を行ってきました。今回と次回で実数\(\mathbb{R}\)の構成を行います。正確な定義などは後回しにするとして、今回は準備としてコーシー列を定義し、コーシー列に関する命題をいくつか証明...
集合論 集合論(18) 数の構成③
前回までで整数の定義とその上での演算(和と積)を紹介しました。本来ならこの整数\(\mathbb{Z}\)が満たす性質(例えば和の交換関係等)を紹介して、一つ一つ証明しようと予定していたのですが、少し駆け足に進めていきたいと思います。
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集合論 集合論(17) 数の構成②
前回、整数の定義について紹介しました。今回は整数上での和(と差)と積の定義の紹介とその詳細について触れていきます。well-definedについて、また何故その確認をするのかも詳しく説明していて、大学数学の疑問を解決できる記事になってます...
集合論 集合論(16)数の構成①
今回からは集合論で培ってきた知識をもとに数の構成をしていきます。具体的には、自然数の集合\(\mathbb{N}\)を仮定した上で整数\(\mathbb{Z}\)を構成し、そこから更に有理数\(\mathbb{Q}\)、実数\(\math...
集合論 集合論(15) 順序②
前回順序集合について紹介しました。ここから更に順序の細かい定義に触れていきたいと思います。今回は全て等号あり順序(X,≦)について書きますが、等号なし順序についても同様に定義できます。今回も頑張っていきましょう！
極大/極小、最大/...
集合論 集合論(14) 順序①
同値関係は"="の条件を緩めた二項関係として捉えることができました。今度は"≦",もしくは"＜"の条件を緩めた二項関係として「順序」を紹介します。
定義(等号付き順序)
\(A≠\varnothing \)上の二項関係\(I...
集合論 集合論(13) 同値類・商集合・分割
前回同値関係について紹介しました。その同値関係を更に深めてみると、何が見えてくるのかを紹介したいと思います。
同値類(同値類)
定義
\(E\)を\(A\)上の同値関係とする。このとき、ある\(a\in A\)に対して、...
集合論 集合論(12) 同値関係
同値関係について説明します。同値関係は"="の概念を拡張したものとして捉えることができます。例えば、偶数・奇数で整数を分けたりしますが、偶数同士、奇数同士は同値関係とみなすことができます。
定義(二項関係)
同値関係の定義をす...