集合論 集合論(18) 数の構成③
前回までで整数の定義とその上での演算(和と積)を紹介しました。本来ならこの整数\(\mathbb{Z}\)が満たす性質(例えば和の交換関係等)を紹介して、一つ一つ証明しようと予定していたのですが、少し駆け足に進めていきたいと思います。
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集合論
集合論 集合論 集合論(17) 数の構成②
前回、整数の定義について紹介しました。今回は整数上での和(と差)と積の定義の紹介とその詳細について触れていきます。well-definedについて、また何故その確認をするのかも詳しく説明していて、大学数学の疑問を解決できる記事になってます...
集合論 集合論(16)数の構成①
今回からは集合論で培ってきた知識をもとに数の構成をしていきます。具体的には、自然数の集合\(\mathbb{N}\)を仮定した上で整数\(\mathbb{Z}\)を構成し、そこから更に有理数\(\mathbb{Q}\)、実数\(\math...
集合論 集合論(15) 順序②
前回順序集合について紹介しました。ここから更に順序の細かい定義に触れていきたいと思います。今回は全て等号あり順序(X,≦)について書きますが、等号なし順序についても同様に定義できます。今回も頑張っていきましょう！
極大/極小、最大/...
集合論 集合論(14) 順序①
同値関係は"="の条件を緩めた二項関係として捉えることができました。今度は"≦",もしくは"＜"の条件を緩めた二項関係として「順序」を紹介します。
定義(等号付き順序)
\(A≠\varnothing \)上の二項関係\(I...
集合論 集合論(13) 同値類・商集合・分割
前回同値関係について紹介しました。その同値関係を更に深めてみると、何が見えてくるのかを紹介したいと思います。
同値類(同値類)
定義
\(E\)を\(A\)上の同値関係とする。このとき、ある\(a\in A\)に対して、...
集合論 集合論(12) 同値関係
同値関係について説明します。同値関係は"="の概念を拡張したものとして捉えることができます。例えば、偶数・奇数で整数を分けたりしますが、偶数同士、奇数同士は同値関係とみなすことができます。
定義(二項関係)
同値関係の定義をす...
集合論 集合論(11) 直積
直積について解説していきます。
定義
\(A,B\)をそれぞれ集合とする。\(A\times B:=\) {\((a,b):a\in A,b\in B\)}を\(A\)と\(B\)の直積集合という。
ここで\((a,b)...
集合論 集合論(10) 写像(4)
逆像についての命題をいくつか証明していきます。今回、全ての命題の前提条件として\(f:A\rightarrow B\)の存在を仮定します。
\(A=f^{-1}(B)\)
もしも\(f(A)=B\)を証明しようと思ったら\(f...
集合論 集合論(9) 写像(3)
こんにちは！マシューの数理理論部屋です。今回からは写像の特性についていくつかの命題を証明していきたいと思います。特に今回は合成写像と単射、全射の組み合わせの有名な命題を証明します。よろしくお願いします。
\(g\circ f\)が全...